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<!DOCTYPE html>

<title>Basler Problem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Basler Problem</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das Basler Problem ist ein <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematisches</a> Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem <a href="Basel" title="Basel">Basler</a> Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">reziproken</a> <a href="Quadratzahl" title="Quadratzahl">Quadratzahlen</a>, also nach dem Wert der <a href="Reihe_(Mathematik)" title="Reihe (Mathematik)">Reihe</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/381b6b2ae13c1e198dc4f291aba675ee87f90965.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.422ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }" loading="lazy"> .</dd></dl>

Es wurde 1735 durch <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> gelöst, der den Reihenwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}64493\,40668\,48226\,\ldots }">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}64493\,40668\,48226\,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c633589e6c8540a2bc3e3f338e46b315bf627f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:29.227ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}64493\,40668\,48226\,\ldots }" loading="lazy"><a href="#cite_note-1">[1]</a> fand. Man kann dies auch als Suche nach dem Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eff246e5aba5259593186618c576a3b7e14bc3c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.067ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)}" loading="lazy"> der <a href="Riemannsche_Zeta-Funktion" title="Riemannsche Zeta-Funktion">Riemannschen ζ-Funktion</a> an der Stelle 2 auffassen, die definitionsgemäß durch die angegebene unendliche Reihe dargestellt wird.

Das Basler Problem ist äquivalent zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2k+1)}^{2}}}={\frac {{\pi }^{2}}{8}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6cc3dba76a7cc72ecf994520371fbafe7a6668d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.141ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2k+1)}^{2}}}={\frac {{\pi }^{2}}{8}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wegen

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {3}{4}}\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{{(2m)}^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2k+1)}^{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/597eb4ebab51d7e42a9007a8564b344d08ab2b95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:47.428ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {3}{4}}\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{{(2m)}^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2k+1)}^{2}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lösungsversuche">Lösungsversuche</h2></div>

1644 fragte sich der Italiener <a href="Pietro_Mengoli" title="Pietro Mengoli">Pietro Mengoli</a>, ob diese Summe konvergiere, und wenn ja, gegen welchen Wert, konnte diese Frage aber nicht beantworten. Etwas später erfuhr der Basler Mathematiker <a href="Jakob_I_Bernoulli" title="Jakob I Bernoulli">Jakob I Bernoulli</a> von diesem Problem, fand jedoch auch keine Lösung (1689). Daraufhin versuchten sich mehrere Mathematiker an der Fragestellung, hatten aber durchweg keinen Erfolg. Dann begann im Jahre 1726 <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, der ebenfalls ein in Basel geborener Mathematiker und zudem ein Schüler von Jakob Bernoullis Bruder <a href="Johann_I_Bernoulli" title="Johann I Bernoulli">Johann</a> war, sich mit dem Problem zu befassen. 1735 fand er schließlich die Lösung und veröffentlichte sie in seinem Werk De Summis Serierum Reciprocarum.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Diese überraschende Lösung des Problems, welche die <a href="Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> enthält, trug wesentlich dazu bei, dass der Name Eulers in Mathematikerkreisen rasch bekannt wurde. Vor Euler hatten nämlich andere Mathematiker auf numerischem Wege lediglich herausgefunden, dass der Wert der Reihe, sofern existent, nahe der Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62d950021b004617ed6ede113fc2eb9acabca3aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}" loading="lazy"> liegen muss.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Der Beweis erschien zwar erst im Jahre 1740 in gedruckter Form, verbreitete sich aber schon bald nach seiner Entdeckung unter den führenden Mathematikern im damaligen Europa.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Euler hatte sich dem Problem seit 1728 gewidmet. Vor dem exakten Beweis war es ihm durch numerische Rechnungen gelungen, den Wert der Reihe bis auf 20 Dezimalstellen genau zu berechnen (1732), was ihn schon den genauen Wert vermuten ließ.<a href="#cite_note-5">[5]</a> Ein zweiter Beweis von Euler stammt aus dem Jahr 1741.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

Es gibt viele verschiedene Beweise für die Lösung des Basler Problems. Im <a href="Das_Buch_der_Beweise" title="Das Buch der Beweise">Buch der Beweise</a><a href="#cite_note-7">[7]</a> werden neben einem (unten dargestellten) Beweis von <a href="William_LeVeque" title="William LeVeque">William LeVeque</a> (1956)<a href="#cite_note-8">[8]</a> Beweise von <a href="Jonathan_Borwein" title="Jonathan Borwein">Jonathan Borwein</a> und <a href="Peter_Borwein" title="Peter Borwein">Peter Borwein</a> präsentiert (aus einer Übungsaufgabe in ihrem Buch Pi and the AGM von 1987, er basiert auf einer „Quadrierung“ der <a href="Leibniz-Reihe" title="Leibniz-Reihe">Leibniz-Reihe</a>),<a href="#cite_note-9">[9]</a> ein elementarer Beweis von <a href="Akiwa_Moissejewitsch_Jaglom" title="Akiwa Moissejewitsch Jaglom">Akiwa Moissejewitsch Jaglom</a> und <a href="Isaak_Moissejewitsch_Jaglom" title="Isaak Moissejewitsch Jaglom">Isaak Moissejewitsch Jaglom</a> (1954, Ausgangspunkt ist eine Identität für eine Summe von Quadraten der Kotangensfunktion und wird unten dargestellt),<a href="#cite_note-10">[10]</a> der mehrfach wiederentdeckt wurde und sich schon bei <a href="Augustin-Louis_Cauchy" title="Augustin-Louis Cauchy">Augustin-Louis Cauchy</a> 1821 findet (Cours d’Analyse, Note VIII), und ein Beweis von <a href="Frits_Beukers" title="Frits Beukers">Frits Beukers</a>, A. C. Kolk und <a href="Eugenio_Calabi" title="Eugenio Calabi">Eugenio Calabi</a> (1993), bei dem ein Doppelintegral durch geschickte Koordinatentransformation ausgewertet wird.<a href="#cite_note-11">[11]</a><a href="#cite_note-12">[12]</a> Ein Beweis aus der komplexen Analysis nutzt den <a href="Residuenkalk%C3%BCl" class="mw-redirect" title="Residuenkalkül">Residuenkalkül</a> für die Auswertung eines Integrals über die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=\pi {\tfrac {\cot(\pi z)}{z^{2}}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=\pi {\tfrac {\cot(\pi z)}{z^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c65cbbaaea34e442b835da56430310aec817c57a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:14.625ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle f(z)=\pi {\tfrac {\cot(\pi z)}{z^{2}}}}" loading="lazy">, die Pole genau an den ganzen Zahlen hat.<a href="#cite_note-13">[13]</a>

Euler behandelte 1755 auch allgemein Werte der Zetafunktion bei geradzahligen Stellen mit Hilfe der Partialbruchentwicklung der Kotangensfunktion.<a href="#cite_note-14">[14]</a><a href="#cite_note-15">[15]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lösungswege">Lösungswege</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eulers_erste_Lösung">Eulers erste Lösung</h3></div>

Für seine ursprüngliche Lösung<a href="#cite_note-16">[16]</a> betrachtete Euler die <a href="Taylorreihe" title="Taylorreihe">Taylorreihe</a> der <a href="Sinc-Funktion" title="Sinc-Funktion">Kardinalsinusfunktion</a>, also

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {si} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+-\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4401adf42dccf304aa0c68db9c41f27ae84a44c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:44.832ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {si} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+-\cdots }" loading="lazy"></dd></dl>

und setzte sie mit der Produktdarstellung jener Funktion gleich:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+-\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/163d816ce50c05d3c217d1069a3676acfd78c1ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:97.955ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+-\cdots }" loading="lazy"></dd></dl>

Beim (hypothetischen) Ausmultiplizieren des unendlichen Produkts betrachtete er nur diejenigen Produkte, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}}">

<msup>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{2}}" loading="lazy"> enthalten. Da es keine weitere Möglichkeit gibt, dass ein Term ein quadratisches Glied enthalten kann, müssen die beiden quadratischen Terme auf den jeweiligen Seiten gleich sein, also

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -x^{2}\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {x^{2}}{3!}}=-{\frac {x^{2}}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ada95ba3af6931123dfa4ade2283d31ca64629f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:57.887ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle -x^{2}\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {x^{2}}{3!}}=-{\frac {x^{2}}{6}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Daraus folgerte Euler seine Lösung:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2ca4f09e11e25712d6dd88fe4f74264e6303972.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.729ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für eine strenge Begründung der Produktdarstellung ist allerdings der erst später bewiesene <a href="Weierstra%C3%9Fscher_Produktsatz" title="Weierstraßscher Produktsatz">Weierstraßsche Produktsatz</a> nötig.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometrische_Lösung">Geometrische Lösung</h3></div>

Diese Lösung benutzt den <a href="Satz_des_Thales" title="Satz des Thales">Satz des Thales</a>, den <a href="Kreiswinkelsatz" class="mw-redirect" title="Kreiswinkelsatz">Kreiswinkelsatz</a>, den <a href="Inverser_Satz_des_Pythagoras" title="Inverser Satz des Pythagoras">inversen Satz des Pythagoras</a> und das <a href="Abstandsquadratgesetz" title="Abstandsquadratgesetz">Abstandsquadratgesetz</a>.<a href="#cite_note-17">[17]</a><a href="#cite_note-18">[18]</a><a href="#cite_note-19">[19]</a>

<table>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<td>Abb. 1: Illustration zum Satz von Thales (blau), Kreiswinkelsatz (grün) und inversen Satz des Pythagoras (gelb und rot)

</td>

<td>Abb. 2: Die Lichtmenge, die das Segelboot in Summe von den schwarzen Leuchttürmen empfängt, ist dieselbe, die es vom roten Leuchtturm erhält

</td></tr></tbody></table>

Der rote <a href="Kreisbogen" title="Kreisbogen">Kreisbogen</a> in Abbildung 2 über dem <a href="Durchmesser" title="Durchmesser">Durchmesser</a> vom Segelboot zum roten Leuchtturm hat die Länge 1, und der Umfang des roten Kreises ist 2, womit sein Durchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/\pi }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5eff7f0c1780309e1d539f5a699693aedd5fcbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.657ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/\pi }" loading="lazy"> ist. Das Segelboot empfängt vom roten Leuchtturm eine Lichtmenge C, die nach dem Abstandsquadratgesetz umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat ist oder, der Einfachheit halber, gleich dem Kehrwert des Abstandsquadrates ist, womit hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C=\pi ^{2}/4}">

<msup>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=\pi ^{2}/4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d00fcb157fc2ab209a149d9f77efbb6f1a057e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.578ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C=\pi ^{2}/4}" loading="lazy"> ist.

Im Folgenden leuchten alle betrachteten Leuchttürme so hell wie der rote, bezeichnet Intensität die vom Segelboot empfangene Lichtmenge und Bogenabstand die Länge des zwischen zwei Orten liegenden Kreisbogens. Der rote Leuchtturm hat in Abbildung 2 den Bogenabstand 1 zum Segelboot und die Intensität C. Die beiden gelben Leuchttürme liegen auf dem doppelt so großen gelben Kreis, sodass sie den Bogenabstand 2 zueinander und den Bogenabstand 1 zum Segelboot haben.

Die Intensität der beiden gelben Leuchttürme ist in Summe dieselbe wie die des roten Leuchtturms. Denn die gelben Leuchttürme erzeugen mit dem Segelboot nach dem Satz von Thales ein rechtwinkliges Dreieck und der rote Leuchtturm liegt am Fußpunkt der Höhe des Segelbootes über der Hypotenuse des Dreiecks, womit die Aussage aus dem inversen Satz des Pythagoras und dem Abstandsquadratgesetz folgt, siehe Abbildung 1.

Ebenso ist die Intensität der vier grünen Leuchttürme in Abbildung 2 in Summe dieselbe wie die der beiden gelben Leuchttürme, deren Intensität in Summe der des einen roten Leuchtturms entspricht. Die grünen Leuchttürme liegen nach dem Kreiswinkelsatz ebenfalls im Bogenabstand 2 zueinander und der nächstgelegene im Bogenabstand 1 zum Segelboot, siehe Abbildung 1. Dieses Verfahren kann durch Verdoppelung der Anzahl der Leuchttürme auf doppelt so großen Kreisen immer weiter fortgesetzt werden, wobei

<ul><li>der Bogenabstand des Segelbootes zum nächstgelegenen Leuchtturm immer 1 ist,</li>

<li>der Bogenabstand zwischen zwei benachbarten Leuchttürmen immer 2 ist,</li>

<li>die Intensität aller Leuchttürme auf dem Kreis in Summe immer gleich derjenigen des roten Leuchtturms ist und</li>

<li>die Leuchttürme, die einen bestimmten Bogenabstand vom Segelboot haben, Endpunkte von Durchmessern sind, die sich einer Senkrechten im Bild immer mehr nähern und an deren anderem Endpunkt ein Leuchtturm scheint, der immer weniger zur Intensität beiträgt.</li></ul>

Indem der Trägerkreis der Leuchttürme immer größer wird, nähert er sich immer mehr einer Geraden an, schwarz in Abbildung 2, auf der Leuchttürme (ebenfalls schwarz) immer im Abstand 2 an den Stellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm 1,\pm 3,\pm 5,\dots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm 1,\pm 3,\pm 5,\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/856ce600a4ab514cc64dddd7e8d5e5d652c91c78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.737ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pm 1,\pm 3,\pm 5,\dots }" loading="lazy"> stehen, wenn das Segelboot im Ursprung schwimmt, und nur diese Leuchttürme tragen nennenswert zur Intensität bei. Daher ist die Intensität der schwarzen Leuchttürme in Summe gleich der des roten Leuchtturms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C={\tfrac {\pi ^{2}}{4}}}">

<mfrac>

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</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C={\tfrac {\pi ^{2}}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6beea2e67ae6dc13a55cb744d81245dfb28951ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.476ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle C={\tfrac {\pi ^{2}}{4}}}" loading="lazy">.

Wenn die schwarzen Leuchttürme links vom Segelboot ausgeschaltet werden, halbiert sich die Intensität zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}}">

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31a27e5023b507ff33be07efbb0c865ed15a3135.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.611ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}}" loading="lazy"> und entspricht der Summe

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fd8b01a914236a3cda82f7ede1960a31557d0c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.81ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Beim Basler Problem ist

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a258478e9a5dcf999996822ecc1cafda5953804e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.565ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle H={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots }" loading="lazy"></dd></dl>

gesucht, was Leuchttürmen an den Stellen 1, 2, 3, … im Abstand 1 entspricht. Werden deren Abstände verdoppelt, viertelt sich nach dem Abstandsquadratgesetz die Intensität:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {H}{4}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aebd7c9eac5312a4b9be247eae5ba436cd524fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.401ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {H}{4}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots }" loading="lazy"></dd></dl>

Addition von h ergibt das Gesuchte:

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H}{4}}+h=&\ {\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots +{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots \\=&\ {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots =H\\\iff H-{\frac {H}{4}}=&\ {\frac {3}{4}}H=h={\frac {\pi ^{2}}{8}},\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/833e5068be14e11928dd2d58cfcdd6cd7265b83d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.171ex; width:61.487ex; height:17.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H}{4}}+h=&\ {\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots +{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots \\=&\ {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots =H\\\iff H-{\frac {H}{4}}=&\ {\frac {3}{4}}H=h={\frac {\pi ^{2}}{8}},\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

was äquivalent zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle H={\frac {\pi ^{2}}{6}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle H={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/224c0ea5acc2f57b80599fc969e131202a94408f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.773ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle H={\frac {\pi ^{2}}{6}}}" loading="lazy"> ist.

Bemerkung: Die geometrische Lösung ist für sich genommen kein Beweis der Konvergenz der Reihe, da hier nur eine konvergente <a href="Teilfolge" title="Teilfolge">Teilfolge</a> (ausschließlich Zweierpotenzen bei der Zahl der Leuchttürme) betrachtet wird. Allerdings hatte ja schon Jakob Bernoulli die Konvergenz der Reihe bewiesen, sodass die Bestimmung des Grenzwerts einer konvergenten Teilfolge ausreicht.

Daher kann man auch mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gleichmäßig verteilten Leuchttürmen bei einem Kreis mit Umfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2n}" loading="lazy"> beginnen (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}" loading="lazy">), sodass das Segelboot den Bogenabstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> von den beiden nächsten Leuchttürmen entfernt ist. Durch Anwendung der obigen Verdoppelungstechnik erzeugt man dann eine weitere Teilfolge mit konstanter Leuchtstärke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0301812adb392070d834ca2df4ed97f1cf132f33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.88ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{n}}" loading="lazy">. Da alle Teilfolgen in einer konvergenten Folge gegen denselben Wert konvergieren, muss zwangsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{n}=C}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{n}=C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a641ab8f87f207cdad0dfec7d3b7d73cd88a9f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.745ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{n}=C}" loading="lazy"> gelten.

Die durchgehende Konstanz der Intensität erlaubt schließlich durch Rückskalierung noch die Berechnung der Leuchtstärke von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> derartig (mit entsprechend geringerem Bogenabstand) gleichverteilten Leuchttürmen im Einheitskreis: Sie beträgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{2}/4}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{2}/4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46c0b98fd6439a0397e95ce0b4dd5545a5cdff5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.774ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle n^{2}/4}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Über_ein_Doppelintegral">Über ein Doppelintegral</h3></div>

Der Beweis über ein Doppelintegral erscheint als eine Übung in <a href="William_LeVeque" title="William LeVeque">William J. LeVeques</a> Lehrbuch zur Zahlentheorie von 1956.

Über die <a href="Geometrische_Reihe" title="Geometrische Reihe">geometrische Reihe</a> erhält man zuerst die Darstellung

</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-xy}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edecfcaccc7ef13091f7da73cd1e12b171e42c87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.947ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-xy}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Mittels einer <a href="Transformationssatz" title="Transformationssatz">Variablensubstitution</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u={\frac {y+x}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u={\frac {y+x}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11094c4766a4b8a6b3c9fa2cbb4b6ebb1fc546bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.59ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle u={\frac {y+x}{2}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\frac {y-x}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\frac {y-x}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7297e2ef3899e937d22e74edf0b62e11baac506f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.388ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle v={\frac {y-x}{2}}}" loading="lazy"> gelangt man zu

</mrow>

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</msup>

</mrow>

</mfrac>

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</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)=4\int _{0}^{\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} v}{1-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u+4\int _{\frac {1}{2}}^{1}\left(\int _{0}^{1-u}{\frac {\mathrm {d} v}{1-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57cd05b1e34bb83f3208440bb3c79668fd4e4d1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:69.743ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)=4\int _{0}^{\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} v}{1-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u+4\int _{\frac {1}{2}}^{1}\left(\int _{0}^{1-u}{\frac {\mathrm {d} v}{1-u^{2}+v^{2}}}\right)\mathrm {d} u,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei sich die inneren Integrale mit Hilfe des <a href="Arkustangens" class="mw-redirect" title="Arkustangens">Arkustangens</a> auflösen lassen zu

</mrow>

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<mi>arctan</mi>

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<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

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<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)=4\int _{0}^{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\arctan \left({\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)\mathrm {d} u+4\int _{\frac {1}{2}}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\arctan \left({\frac {1-u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)\mathrm {d} u.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5518304fa72d89badc1dfa58316a313abf8b2b5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:86.744ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)=4\int _{0}^{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\arctan \left({\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)\mathrm {d} u+4\int _{\frac {1}{2}}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\arctan \left({\frac {1-u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)\mathrm {d} u.}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(u)=\arctan \left({\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)}">

<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(u)=\arctan \left({\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/385941582fe2d906bb35cc83b561d7f3dc9e7360.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.047ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle g(u)=\arctan \left({\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(u)=\arctan \left({\frac {1-u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)}">

<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(u)=\arctan \left({\frac {1-u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/382085e2206092093001482f2e39636c9eeeff69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.27ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle h(u)=\arctan \left({\frac {1-u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)}" loading="lazy"> erhält man die Schreibweise

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)=4\int _{0}^{\frac {1}{2}}g'(u)g(u)\mathrm {d} u-8\int _{\frac {1}{2}}^{1}h'(u)h(u)\mathrm {d} u=2{\Big [}g(u)^{2}{\Big ]}_{0}^{\frac {1}{2}}-4{\Big [}h(u)^{2}{\Big ]}_{\frac {1}{2}}^{1}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84891fa47eed625c878fb6385d94058bc4d7b291.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:79.615ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)=4\int _{0}^{\frac {1}{2}}g'(u)g(u)\mathrm {d} u-8\int _{\frac {1}{2}}^{1}h'(u)h(u)\mathrm {d} u=2{\Big [}g(u)^{2}{\Big ]}_{0}^{\frac {1}{2}}-4{\Big [}h(u)^{2}{\Big ]}_{\frac {1}{2}}^{1}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Über_die_Reihenentwicklung_des_Arkussinus">Über die Reihenentwicklung des Arkussinus</h3></div>

Der Beweis über die Reihenentwicklung des Arkussinus entspricht dem zweiten Beweis von Euler von 1741.

Es gilt folgende Formel:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2k+2)\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x-(2k+3)\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+3}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6915be6a77376cbe88cf4d60c6a1011f829cb1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:52.909ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle (2k+2)\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x-(2k+3)\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+3}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}(2k+2){\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}-(2k+3){\frac {x^{2k+3}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ae63459d4db6516d3ade5628f750f6a8ce894f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:50.128ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}(2k+2){\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}-(2k+3){\frac {x^{2k+3}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{2k+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{2k+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\right]_{0}^{1}=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd13de0c3eee9e18ad9c16298f1aa951ce0c7c67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:55.734ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{2k+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=\left[x^{2k+2}{\sqrt {1-x^{2}}}\right]_{0}^{1}=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Daraus folgt für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97bceb13f72e37bcd50b60e5fb2fa05bcf15c265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy">:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+3}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {2k+2}{2k+3}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/040a5d5ebe0349d06581d0924ca104ed0b24b29e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:43.494ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+3}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {2k+2}{2k+3}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Zusammen mit dem initialen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=1}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfd57d8fd6d57aa402b0055a9e6ce358ca165cad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.19ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=1}" loading="lazy"> kann durch <a href="Vollst%C3%A4ndige_Induktion" title="Vollständige Induktion">Induktion</a> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {4^{k}(k!)^{2}}{(2k)!(2k+1)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da98c0c373bed916f02d54eb28c8bc247ff791a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:33.025ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {4^{k}(k!)^{2}}{(2k)!(2k+1)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gezeigt werden. Außerdem gilt mittels <a href="Taylorreihe" title="Taylorreihe">Taylor-Entwicklung</a>:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mi>arcsin</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}x^{2k+1}=\arcsin(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8cff22143529450a07d82a8b91c46db3f011a1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:37.277ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}x^{2k+1}=\arcsin(x)}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch Synthese der beiden zuletzt genannten Formeln folgt:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a69a73f1b78effb564b2f21e5205a3b080589fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.33ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}\,{\frac {4^{k}(k!)^{2}}{(2k)!(2k+1)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0416f223f67812dc9048314747574c26f7504c8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:38.815ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}\,{\frac {4^{k}(k!)^{2}}{(2k)!(2k+1)}}}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c45c12439b341c8ccde45586ecbf3a40041add5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:41.037ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}\,{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2294ee5ca9d996f6232310620f38f885b2f72c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:41.037ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!}{4^{k}(k!)^{2}(2k+1)}}\,{\frac {x^{2k+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<mi>arcsin</mi>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b4fe27d2b0c91bf6ed579804f5f690894be478d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:21.304ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle ={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mi>arcsin</mi>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\frac {4}{3}}{\biggl [}{\frac {1}{2}}\arcsin(x)^{2}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5abacb5dad34bae41a1e5a2323b609d0c963408b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.721ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle ={\frac {4}{3}}{\biggl [}{\frac {1}{2}}\arcsin(x)^{2}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}}" loading="lazy"></dd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d60a6f59837585d91363b29551294f96d8b50324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:5.678ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Über_eine_Kotangenssumme">Über eine Kotangenssumme</h3></div>

Dieser Beweis findet sich schon bei Cauchy und wurde mehrfach neu entdeckt (darunter durch die Gebrüder Jaglom). Ausgangspunkt ist die Kotangenssumme:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}={\frac {m(2m-1)}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc91199ddc89ccfe8528f05aa5a8080ed419620c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.736ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}={\frac {m(2m-1)}{3}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies kann auf folgende Weise erklärt werden:

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan[(2m+1)\varphi ]=\left[\sum _{k=0}^{m}{\binom {2m+1}{2k+1}}(-1)^{k}\cot(\varphi )^{2m-2k}\right]\left[\sum _{k=0}^{m}{\binom {2m+1}{2k}}(-1)^{k}\cot(\varphi )^{2m+1-2k}\right]^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80d01fdda9e8f996f25874ad3ee2127210efc1fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:93.543ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle \tan[(2m+1)\varphi ]=\left[\sum _{k=0}^{m}{\binom {2m+1}{2k+1}}(-1)^{k}\cot(\varphi )^{2m-2k}\right]\left[\sum _{k=0}^{m}{\binom {2m+1}{2k}}(-1)^{k}\cot(\varphi )^{2m+1-2k}\right]^{-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Gleichung resultiert aus dem <a href="Additionstheoreme_(Trigonometrie)" class="mw-redirect" title="Additionstheoreme (Trigonometrie)">Additionstheorem</a> der Tangensfunktion.

Deswegen hat die Gleichung

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {2m+1}{2k+1}}(-1)^{k}x^{m-k}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e11c28a41c1433bac41cdbe4d1ddb46888002022.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.638ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {2m+1}{2k+1}}(-1)^{k}x^{m-k}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

folgende Lösungen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n}=\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2},\qquad n=1,2,\dots ,m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/974586552365460dfb9240c491dbbeb7d2c3cbcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.4ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle x_{n}=\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2},\qquad n=1,2,\dots ,m}" loading="lazy"></dd></dl>

Da die obige Gleichung vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> ist und die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c5ea190699149306d242b70439e663559e3ffbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.548ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{n}}" loading="lazy"> <a href="Paarweise_verschieden" title="Paarweise verschieden">paarweise verschieden</a> sind, bilden sie die vollständige Lösungsmenge. Der <a href="Satz_von_Vieta" title="Satz von Vieta">Satz von Vieta</a> besagt, dass man die negative Summe aller Lösungen der gesamten Lösungsmenge dadurch erhält, dass man den Koeffizienten des rangmäßig zweithöchsten Gliedes durch den Koeffizienten des rangmäßig höchsten Gliedes teilt. Das rangmäßig höchste Glied nimmt den Wert 1 aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2m+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2m+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/160956c701e4ac3e724fecbecd9a0d9cd67c2bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.206ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2m+1}" loading="lazy"> an. Das rangmäßig zweithöchste Glied nimmt das Negative des Wertes 3 aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2m+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2m+1}</annotation>

</semantics>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}={\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}^{-1}={\frac {m(2m-1)}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0239e42b821d3a1e42ef496f5800d5329108f19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:61.421ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}={\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}^{-1}={\frac {m(2m-1)}{3}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese kann auch elementar unter Verwendung der <a href="Eulersche_Identit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Eulersche Identität">Eulerschen Identität</a> gezeigt werden.

Deswegen gilt Folgendes:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1921c0bbeb40fea9135b1a4b907c28ac1cb4b627.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:46.28ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{m}{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ff48f4f3ee40f32893b76a5866376c8c4b007d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.608ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle =\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{m}{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\sum _{n=1}^{m}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/210133c9b67fcb49e6e867cb9f0eec4a8dc3fc5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.608ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle =\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\sum _{n=1}^{m}\cot \left({\frac {\pi n}{2m+1}}\right)^{2}}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\,{\frac {m(2m-1)}{3}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b20fcfe57b38d572bb98ed6f2b611953d323c4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:37.076ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle =\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {\pi ^{2}}{(2m+1)^{2}}}\,{\frac {m(2m-1)}{3}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beweis_über_Fourier-Reihen">Beweis über Fourier-Reihen</h3></div>

Der <a href="Satz_von_Parseval" title="Satz von Parseval">Satz von Parseval</a> angewandt auf die <a href="Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">Identische Abbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/033c0ae81eaf4c65cbb0759d7aa2c4f434c00f02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.273ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto x}" loading="lazy"> ergibt

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b5b66acad9f7399cfb3e4dd687465e9ab698ddc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.488ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,\mathrm {d} x={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i={\frac {(-1)^{n}}{n}}i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c573ff2fb67b73c26d57ca4c8e9a20b8953a11c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:71.451ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,\mathrm {d} x={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i={\frac {(-1)^{n}}{n}}i}" loading="lazy"></dd></dl>

für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5920e98ff3dd1cb41e01f76243300450c958d5e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.656ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n\neq 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29af3d4e887815bb3b9b9eab4f7540a376fccd73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.322ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{0}=0}" loading="lazy">, sodass zusammenfassend gilt:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{falls}}\,\,n\neq 0,\\0,&{\text{falls}}\,\,n=0,\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/585224e02f9e30d6dcf1dbb1b629b102089faf68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:27.905ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{falls}}\,\,n\neq 0,\\0,&{\text{falls}}\,\,n=0,\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,\mathrm {d} x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5fe8456137166e2c8b2622e5c25cf513d30dec5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.81ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,\mathrm {d} x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit ergibt sich die Lösung des Basler Problems:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39f6fa7cff7dbc3690c083ec256e7841f16dafe1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:30.339ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Ein weiterer Beweis ergibt sich aus der Berechnung der <a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihe</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x(1-x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x(1-x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e86a23dab253892f3456356b3850b330d48a6ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x(1-x)}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy">:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(1-x)={\frac {1}{6}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi nx)}{{\pi }^{2}n^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a125b347bf4210b4077ffd19cb197f9b1aeafcad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:31.126ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle x(1-x)={\frac {1}{6}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi nx)}{{\pi }^{2}n^{2}}}}" loading="lazy">

Die Lösung des Basler Problems ergibt sich, wenn man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> setzt.<a href="#cite_note-20">[20]</a>

Ein weiterer Beweis über Fourierreihen der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{n\not =0}{\frac {\cos(nx)}{n^{2}}}}">

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{n\not =0}{\frac {\cos(nx)}{n^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/922c80afdaf9dd687429a05db5136800bffad7fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:12.402ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{n\not =0}{\frac {\cos(nx)}{n^{2}}}}" loading="lazy"> findet sich in einem Buch von Fridtjof Toenniessen.<a href="#cite_note-21">[21]</a><a href="#cite_note-22">[22]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

Auch verallgemeinerte Euler das Problem.<a href="#cite_note-23">[23]</a> Er untersuchte dafür die später <a href="Riemannsche_%CE%B6-Funktion" class="mw-redirect" title="Riemannsche ζ-Funktion">riemannsche ζ-Funktion</a> genannte Funktion

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4cfd02f6b611b141c94e2c67d9e72511e67a358.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:43.261ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }" loading="lazy"></dd></dl>

und fand einen allgemeinen geschlossenen Ausdruck für alle geradzahligen natürlichen Argumente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=2k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=2k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be4aa0a5a4af5b812d6afc786b181cd66b77eb14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.563ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s=2k}" loading="lazy">, nämlich

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2k)=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/079c3a540cd37eff505715cdfd63b31257ca7a4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.071ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2k)=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{2k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{2k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d01575253488226c50dd432a9a4c1992f2990159.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.675ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B_{2k}}" loading="lazy"> die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab358eb7defb4d2b0fc1f9e8a4e2d189fe600eb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.374ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2k}" loading="lazy">-te <a href="Bernoulli-Zahl" title="Bernoulli-Zahl">Bernoulli-Zahl</a> bezeichnet.

Zur Ermittlung der Zeta-Funktionswerte von geraden Zahlen dient auch folgende Formel:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2k+2)={\frac {2}{2k+3}}\sum _{n=1}^{k}\zeta (2n)\zeta (2k+2-2n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fda5407cfd6d9eb8851f5c21f8aff271985bee2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:43.861ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2k+2)={\frac {2}{2k+3}}\sum _{n=1}^{k}\zeta (2n)\zeta (2k+2-2n)}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a5bc4b7383031ba693b7433198ead7170954c1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.73ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} }" loading="lazy">. Eine allgemeine Formel für ungeradzahlige natürliche Argumente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> (siehe z. B. <a href="Ap%C3%A9ry-Konstante" title="Apéry-Konstante">Apéry-Konstante</a>) ist bisher unbekannt. Die Erweiterung auf reziproke Kuben hatte schon Euler versucht.<a href="#cite_note-24">[24]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verbesserung_der_Konvergenz">Verbesserung der Konvergenz</h2></div>

In seinem Werk Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen verweist <a href="Konrad_Knopp" title="Konrad Knopp">Konrad Knopp</a> in Hinblick auf die Frage der Konvergenz der eulerschen Reihe auf die Möglichkeit einer deutlichen Verbesserung, die von ihm und <a href="Issai_Schur" title="Issai Schur">Issai Schur</a> im Jahre 1918 gefunden wurde.<a href="#cite_note-25">[25]</a> Es handelt sich um die Gleichung

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=3\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(n-1)!}^{2}}{(2n)!}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e984f4669f47053d2148f57372c578cecb5d025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.27ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=3\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(n-1)!}^{2}}{(2n)!}}}" loading="lazy"> ,</dd></dl>

die sich nicht zuletzt durch die <a href="Arkussinus_und_Arkuskosinus#Reihenentwicklungen" title="Arkussinus und Arkuskosinus">Reihenentwicklung</a> der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin(x)^{2}}">

<mi>arcsin</mi>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin(x)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5737f810f2e1e1a1725172680ace93bf353e8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.155ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \arcsin(x)^{2}}" loading="lazy"> und deren Auswertung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2823014b08c738d0755d2397dc6d997a7e59c6c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.427ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}" loading="lazy"> ergibt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Martin_Aigner" title="Martin Aigner">Martin Aigner</a>, <a href="G%C3%BCnter_Ziegler" title="Günter Ziegler">Günter M. Ziegler</a>: Das Buch der Beweise. Springer, 2018.</li>

<li>Markus Brede: <cite style="font-style:italic">Eulers Identitäten für die Werte von ζ(2n)</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Mathematische_Semesterberichte" title="Mathematische Semesterberichte">Mathematische Semesterberichte</a></cite>. Band 54, 2007, S. 135–140, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/s00591-007-0022-2">10.1007/s00591-007-0022-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Basler+Problem&rft.atitle=Eulers+Identit%C3%A4ten+f%C3%BCr+die+Werte+von+%CE%B6%282n%29&rft.au=Markus+Brede&rft.btitle=Mathematische+Semesterberichte&rft.date=2007&rft.doi=10.1007%2Fs00591-007-0022-2&rft.genre=book&rft.pages=135-140&rft.volume=54" style="display:none"> </li>

<li>Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Beyond the Basel Problem. Sums of Reciprocals of Figurate Numbers</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The College Mathematics Journal</cite>. Band 39, Nr. 5, November 2008, S. 391–394 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Basler+Problem&rft.atitle=Beyond+the+Basel+Problem.+Sums+of+Reciprocals+of+Figurate+Numbers&rft.au=Lawrence+Downey%2C+Boon+W.+Ong%2C+James+A.+Sellers&rft.date=2008-11&rft.genre=journal&rft.issue=5&rft.jtitle=The+College+Mathematics+Journal&rft.pages=391-394&rft.volume=39" style="display:none"> </li>

<li><a href="Jonathan_Borwein" title="Jonathan Borwein">Jonathan Borwein</a>, <a href="Peter_Borwein" title="Peter Borwein">Peter Borwein</a>: <cite style="font-style:italic">Pi and the AGM</cite>. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Reprint of the 1987 original (= <cite style="font-style:italic">Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts</cite>). 2. Auflage. <a href="John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">John Wiley & Sons</a>, New York 1998, ISBN 0-471-31515-X.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Basler+Problem&rft.au=Jonathan+Borwein%2C+Peter+Borwein&rft.btitle=Pi+and+the+AGM&rft.date=1998&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=047131515X&rft.place=New+York&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft.series=Canadian+Mathematical+Society+Series+of+Monographs+and+Advanced+Texts" style="display:none"> </li>

<li><a href="Konrad_Knopp" title="Konrad Knopp">Konrad Knopp</a>: <cite style="font-style:italic">Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen</cite>. Mit einem Vorwort von <a href="Wolfgang_Walter_(Mathematiker)" title="Wolfgang Walter (Mathematiker)">Wolfgang Walter</a>. 6., berichtigte Auflage. <a href="Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer-Verlag</a>, Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Budapest, Hongkong, London, Mailand, Paris, Santa Clara, Singapur, Tokio 1996, ISBN 3-642-64825-8, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-61406-4">10.1007/978-3-642-61406-4</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Basler+Problem&rft.au=Konrad+Knopp&rft.btitle=Theorie+und+Anwendung+der+unendlichen+Reihen&rft.date=1996&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-61406-4&rft.edition=6.%2C+berichtigte&rft.genre=book&rft.isbn=3642648258&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg%2C+New+York%2C+Barcelona%2C+Budapest%2C+Hongkong%2C+London%2C+Mailand%2C+Paris%2C+Santa+Clara%2C+Singapur%2C+Tokio&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li>

<li>K. Knopp, I. Schur: <cite style="font-style:italic">Über die Herleitung der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef0ad5f7dcd52792e344d4ec65f3add420c1a5d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:14.523ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}" loading="lazy"></cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Archiv_der_Mathematik_und_Physik" title="Archiv der Mathematik und Physik">Archiv der Mathematik und Physik</a>, 3. Reihe</cite>. Band 27, 1918, S. 174–176 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/46.0345.02">JFM 46.0345.02</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Basler+Problem&rft.atitle=%C3%9Cber+die+Herleitung+der+Gleichung+&rft.au=K.+Knopp%2C+I.+Schur&rft.btitle=Archiv+der+Mathematik+und+Physik%2C+3.+Reihe&rft.date=1918&rft.genre=book&rft.pages=174-176&rft.volume=27" style="display:none"> </li>

<li><a href="Max_Koecher" title="Max Koecher">Max Koecher</a>: <cite style="font-style:italic">Klassische elementare Analysis</cite>. <a href="Birkh%C3%A4user_Verlag" title="Birkhäuser Verlag">Birkhäuser Verlag</a>, Basel, Boston 1987, ISBN 3-7643-1824-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Basler+Problem&rft.au=Max+Koecher&rft.btitle=Klassische+elementare+Analysis&rft.date=1987&rft.genre=book&rft.isbn=3764318244&rft.place=Basel%2C+Boston&rft.pub=Birkh%C3%A4user+Verlag" style="display:none"> </li>

<li>C. Edward Sandifer: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Euler’s solution of the Basel problem—the longer story</cite>. In: Robert E. Bradley (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Euler at 300</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The MAA tercentenary Euler celebration. Spectrum series</cite>. Band 5). Mathematical Association of America, Washington DC 2007, ISBN 978-0-88385-565-2, S. 105–117 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Basler+Problem&rft.atitle=Euler%E2%80%99s+solution+of+the+Basel+problem%E2%80%94the+longer+story&rft.au=C.+Edward+Sandifer&rft.btitle=Euler+at+300&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=9780883855652&rft.pages=105-117&rft.place=Washington+DC&rft.pub=Mathematical+Association+of+America&rft.series=The+MAA+tercentenary+Euler+celebration.+Spectrum+series" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>Leonhard Euler: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/41/">De Summis Serierum Reciprocarum</a> (lateinisch, englisch), englische Übersetzung bei <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/math/0506415">math/0506415</a> (Eulers erster Beweis, Euler-Verzeichnis E 41).</li>

<li>Robin Chapman: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf">Evaluating ζ(2) – 14 Beweise für den Wert von ζ(2).</a> (PDF; 181 kB) In: empslocal.ex.ac.uk. <a href="University_of_Exeter" title="University of Exeter">University of Exeter</a>, 30. April 1999; abgerufen am 19. Oktober 2023 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ABasler+Problem&rft.title=Evaluating+%CE%B6%282%29+%E2%80%93+14+Beweise+f%C3%BCr+den+Wert+von+%CE%B6%282%29&rft.description=Evaluating+%CE%B6%282%29+%E2%80%93+14+Beweise+f%C3%BCr+den+Wert+von+%CE%B6%282%29&rft.identifier=http%3A%2F%2Fempslocal.ex.ac.uk%2Fpeople%2Fstaff%2Frjchapma%2Fetc%2Fzeta2.pdf&rft.creator=Robin+Chapman&rft.publisher=%5B%5BUniversity+of+Exeter%5D%5D&rft.date=1999-04-30&rft.language=en"> </li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls">Die beeindruckende Geometrie hinter einer wundervollen Formel.</a> (Video englisch, Untertitel deutsch).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=od9lUVypXrQ">Wie Euler einmal pfuschte: Das Basler Problem.</a> Von <a href="Edmund_Weitz" title="Edmund Weitz">Edmund Weitz</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Folge <a href="https://oeis.org/A013661" class="extiw external" title="oeis:A013661">A013661</a> in <a href="On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="On-Line Encyclopedia of Integer Sequences">OEIS</a>.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Euler: De summis serierum reciprocarum, Opera Omnia, Reihe I, Band 14, S. 73–86, in der Standard-Notation der Werke von Euler von Eneström ist das E 41, zuerst erschienen in Comm. Acad. Petrop. 7 (1734/35), St. Petersburg 1740, S. 123–134. Die Arbeit wurde im Dezember 1735 der Akademie vorgelegt.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Dunham: Euler, the master of us all, MAA, S. XXII.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Eine Liste gibt André Weil: Number Theory from Hammurabi to Legendre, Birkhäuser 1984, S. 262, darunter Daniel und Johann Bernoulli, James Stirling, Abraham de Moivre. Euler kündigte das Ergebnis in einem Brief im Dezember 1735 an. Der Brief ist in Euler: Opera Omnia, Reihe III, Band 2, S. 73–74, teilweise übersetzt in Calinger: Euler, S. 119, Weil: Number Theory from Hammurabi to Legendre, S. 261.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Calinger: Leonhard Euler, Princeton UP 2016, S. 119.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Euler: Demonstration de la somme de cette suite 1+1/4 + 1/9 +1/16 + 1/25 + 1/36 + etc. Opera Omnia, Reihe I, Band 14, S. 177–186, in der Standardnotation der Werke E 63, zuerst erschienen in Journal littéraire d’Allemagne, de Suisse et du Nord, Band 2:1, Den Haag 1743, S. 115–127.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das Buch der Beweise, Springer 2018, S. 61–72.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> LeVeque: Topics in Number Theory, Band 1, Addison-Wesley, 1956.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Robin Chapman: Evaluating ζ(2). Beweis 13, siehe Weblinks.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> A. M. Yaglom, I. M. Yaglom: Challenging mathematical problems with elementary solutions, Band 2, Holden-Day, 1967.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Beukers, Kolk, Calabi: Sums of generalized harmonic series and volumes, Nieuw Archief voor Wiskunde, Band 11, 1993, S. 217–224.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Robin Chapman: Evaluating ζ(2). Beweis 2, siehe Weblinks.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Robin Chapman: Evaluating ζ(2). Beweis 8, siehe Weblinks.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Aigner, Ziegler: Das Buch der Beweise, Springer, 2018, S. 210 ff.

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Euler: Institutiones calculi differentialis cum ejus usu in analysi infinitorum ac doctrina serierum, St. Petersburg 1755, Opera Omnia, Reihe I, Band 10.

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Siehe z. B. C. J. Sangwin: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plus.maths.org/content/tags/eulers-solution-basel-problem">An infinite series of Surprises</a>, Euler’s Solution of the Basel problem, Plus Magazine, abgerufen am 19. Oktober 2023.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> M. Bischoff: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/kolumne/pi-ist-ueberall-basler-problem-und-unendliche-summen/2024383">Pi ist überall – Teil 3.1: Was ergibt 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …?</a> In: <a href="Spektrum.de" title="Spektrum.de">Spektrum.de</a>. 3. Juni 2022, abgerufen am 19. Oktober 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ABasler+Problem&rft.title=Pi+ist+%C3%BCberall+%E2%80%93+Teil+3.1%3A+Was+ergibt+1%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B1%2F4%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B1%2F9%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B1%2F16%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B%E2%80%A6%3F&rft.description=Pi+ist+%C3%BCberall+%E2%80%93+Teil+3.1%3A+Was+ergibt+1%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B1%2F4%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B1%2F9%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B1%2F16%26nbsp%3B%2B%26nbsp%3B%E2%80%A6%3F&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.spektrum.de%2Fkolumne%2Fpi-ist-ueberall-basler-problem-und-unendliche-summen%2F2024383&rft.creator=M.+Bischoff&rft.date=2022-06-03">

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Reimund Albers: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Materialien/MatVortr/Vortragsmat/BaselerProbl_Praes.pdf">Das Baseler Problem.</a> (PDF) Eine geometrische Lösung. 2. Vorbereitung. In: Math.Uni-Bremen.de. Abgerufen am 19. Oktober 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ABasler+Problem&rft.title=Das+Baseler+Problem&rft.description=Das+Baseler+Problem&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.math.uni-bremen.de%2Fdidaktik%2Fma%2Fralbers%2FMaterialien%2FMatVortr%2FVortragsmat%2FBaselerProbl_Praes.pdf&rft.creator=Reimund+Albers">

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Johan Wästlund: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf">Summing inverse squares by euclidean geometry.</a> (PDF) In: Math.Chalmers.se. 8. Dezember 2010, abgerufen am 19. Oktober 2023 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ABasler+Problem&rft.title=Summing+inverse+squares+by+euclidean+geometry&rft.description=Summing+inverse+squares+by+euclidean+geometry&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.math.chalmers.se%2F%7Ewastlund%2FCosmic.pdf&rft.creator=Johan+W%C3%A4stlund&rft.date=2010-12-08&rft.language=en">

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Robin Chapman: Evaluating ζ(2). Beweis 5, siehe Weblinks.

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Springer 2019, S. 331–333.

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Robin Chapman: Evaluating ζ(2). Beweis 6, siehe Weblinks.

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Markus Brede: Eulers Identitäten für die Werte von ζ(2). Mathematische Semesterberichte, Bd. 54, S. 135–140.

</li>

<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> <a href="William_Dunham" title="William Dunham">William Dunham</a>: Euler and the Cubic Basel Problem, American Mathematical Monthly, Band 128, 2021, Nr. 4.

</li>

<li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer-Verlag, 1996, S. 275.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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